魔术状态要蒸馏以完成一组通用的耐故障逻辑门（有关通用魔术蒸馏协议的详细信息，请参见图1的扩展数据）。在任何此类协议中，具有一定固有错误的输入魔术状态在量子错误校正代码上编码。然后将编码的魔术状态用于蒸馏电路中，以产生更高的保真度。我们可以使用具有接近完美的保真度的魔术状态来执行容忍性逻辑门。

　　我们根据我们准备的魔法状态选择不同的魔术蒸馏协议。在下一部分中，我们会回顾有关如何在大规模耐受量量子计算中使用CZ状态的详细信息。具体而言，我们可以使用Pauli测量和Clifford Operations28将CZ状态转换为Toffoli国家，以便我们可以采用众所周知的魔法蒸馏协议进行进一步的蒸馏11。这种转换技术是概率的，因为它取决于从保利测量中获得正确的结果。除了这些结果外，我们还展示了如何从输出状态中恢复CZ状态，假设我们获得了Pauli测量结果的不正确结果，从而保留了可用的资源状态。

　　我们还提供了一些示例，说明了如何将小型代码注入“将小型代码注入较大代码”部分中的较大代码，因为将需要将我们准备在主文本中准备的编码状态并在随后的魔术状态蒸馏中使用它。具体来说，我们展示了如何采用距离2代码并在表面代码，重赫克斯代码和更高距离的颜色代码上编码其状态。值得注意的是，在我们进行实验的重赫克斯晶格几何形状上很容易实现重赫克斯代码。对于这些注射方案中的每一个，我们认为我们可以检测到可能发生的任何单个错误。这对于维持准备CZ状态时获得的误差抑制很重要。

　　对于颜色代码状态注射协议，我们将主文本中描述的错误检测代码直接注入较大的代码中。但是，对于表面代码和重赫克斯代码，我们注入了一个相关的代码，我们称为[[4,1,2]]代码。要完成这些注入协议，我们需要采用在错误检测代码上准备的CZ状态，并将其逻辑状态复制到[[4,4,1,2]]代码的两个副本上。我们在“使用重赫克斯晶格几何形状”的两个[[4,1,2]]代码上的“编码CZ状态编码CZ状态”部分中给出了一个耐故障的过程。

　　尽管在文献中尚未对CZ状态的魔法蒸馏进行，但众所周知，该州的两个副本可以使用Pauli测量和Clifford Operations概率地转化为Toffoli State28。鉴于有已知的提炼Toffoli状态的方法11，让我们回顾如何从CZ状态的副本中产生Toffoli状态。在以下各节中，我们将展示如何将CZ状态注入能够执行容忍故障的Clifford操作的较大量子误差校正代码17,18,45以完成这些电路。

　　Toffoli状态定义如下：

　　我们总和在位值j，k = 0，1。

　　给定两份CZ状态的副本，如果我们将Qubits 2和3投射到Z2Z3 = -1特征空间，那么我们获得了中间状态

　　然后，我们获得以下统一电路

　　其中，在受控门CXC的索引C和T分别表示控制和目标量子位。

　　我们通过以4/9的概率测量状态的Z2Z3来获得-1结果。超越参考的工作。28，我们发现在此步骤的Z2Z3 = +1结果下，我们可以恢复CZ状态的单个副本，从而节省了魔术资源状态。如果我们获得了这种测量结果，我们会产生状态

　　应用统一操作并获得两分（两个Quit的平价测量结果Z3Z4 = -1），我们获得了状态。假设我们先前获得了Z2Z3 = +1结果，我们以3/5的概率获得了这种状态。

　　魔术状态蒸馏采用编码的魔术状态，然后处理这些输入状态，以概率地准备一个更好的保真度。因此，有必要将魔术状态编码为量子误差校正代码。这个过程通常称为国家注入。

　　理想情况下，注射过程将为编码的逻辑状态引入最小的噪声，因为这将减少输出魔术状态的噪声。为此，我们寻找在较大的量子纠正代码中注入在四量错误检测代码上准备的魔术状态的方法，以便可以检测到本地错误。

　　在接下来的内容中，我们展示了如何将编码的错误检测代码注入表面代码，重 - 赫克斯代码和颜色代码，从而增加了支持魔术状态的代码的距离。此外，我们认为我们可以检测到注射程序期间可能发生的任何单个误差。这使我们能够维持我们在主文本实验中证明的错误抑制。

　　在主要文本中，我们展示了如何在图2（左）中显示的四个Qubit错误检测代码上准备CZ状态。正如我们后来显示的那样，该代码上的状态可以直接注入颜色代码。编码在表面代码或重赫克斯代码上的两个注射方案假设CZ状态的两个逻辑量子位在[[4,1,1,2]]代码的两个副本上编码，显示在扩展数据图2（右）中。在下一节中，我们将以耐心的方式将如何编码在[[4,1,2]]代码的两个副本上编码在[[4,1,2]]代码的两个副本上，以便可以检测到任何单个错误。在本节的其余部分中，我们假设魔术状态是在[[4,1,2]]代码的两个副本上准备的。

　　为了始终如一地区分两个小的错误检测代码，在整个方法中，我们将参考主文本中使用的错误检测代码，作为[[4,2,2,2,2]]代码，以将此代码与[[4,1,1,2]]代码进行对比。具体来说，我们通过其编码参数[[N，K，D]]标记代码。这两个代码都使用n = 4个物理量子位均具有距离d = 2。这两个代码因其每个编码的逻辑量子数的数量而不同。[[4，2，2]]代码编码k = 2逻辑Qubits，[[4，1，2]]代码编码k = 1逻辑量子。

　　我们使用代码变形19,46,53将状态注入较大的代码11,19,20,21,22,22,24,25,26,41,52。在接下来的内容中，我们描述了使用稳定器形式主义的代码变形理论。我们指出，在文献46,53的其他地方可以找到更一般的代码变形理论。我们提出的理论足以描述感兴趣的状态注射操作。

　　我们使用稳定器形式主义描述代码变形54。可以用称为稳定器组的Pauli操作员的Abelian亚组来描述量子误差校正代码。编码状态在于稳定器组元素的常见+1本特征特征空间。我们将此子空间称为代码空间。稳定器代码还具有相关的逻辑运算符，可以通过一组1≤j≤k的相互反向交易对生成。这些保利操作员与稳定器集团通勤，但本身并不是稳定器操作员。代码D的距离是最不重量逻辑运算符的重量。如果代码的距离至少为d = 2，我们可以检测到任何单个错误。我们在扩展数据中给出了小型稳定器代码的示例，以及它们的逻辑运算符图2。这些示例将与以下有关状态注入的讨论有关。

　　我们测量稳定器操作员以识别错误。由于编码状态是由通勤运营商列表的特定特征状态指定的，因此在不正确的特征空间中找到了一个或多个操作员的测量表明已经发生了错误。通过争辩我们可以检测到任何单个错误，我们必须至少具有d = 2的距离。

　　代码变形是我们执行一个将稳定器代码投射到另一个的测量值。具体来说，我们假设我们已经准备了一个初始代码，其中准备好后，我们就开始测量称为最终代码的第二个代码的稳定器操作员。这将初始代码投射到最终代码上。让我们分别通过其稳定器组以及分别表示这两个代码。我们假设错误可能发生在初始状态的量子位上，必须通过测量最终代码的稳定器来检测到错误。因此，此操作具有关联的代码距离，该代码距离是根据无法检测到的逻辑错误必须发生的本地错误事件的数量来影响编码的空间。

　　我们通过比较稳定器测量的重复读数来检测错误。具体来说，一旦我们测量了稳定器，我们就将它们的结果与在初始代码中制备的稳定器进行比较。这些稳定器测量值的变化表明发生了误差。因此，我们对代码信息稳定器感兴趣

　　也就是说，当我们测量稳定器组时，在制定代码变形后再次检查并再次检查稳定器。

　　保留在代码变形上的逻辑信息具有与两者相关联的逻辑运算符。具体而言，保留在代码变形上的逻辑运算符是形式

　　在哪里，分别是逻辑运算符。

　　理想情况下，我们应该最大化在初始代码和最终代码中重合的稳定器数量，以最大化我们检测到的误差次数。实际上，硬件施加的物理约束可能不允许我们最大化和之间的交集。在这里，我们专注于非常简单的初始化程序，其中初始稳定器代码以产品状态或钟形配对的产品状态制备，以及最初维持编码的魔术状态的小四个QUITION代码。

　　在接下来的内容中，我们将在表面代码，重赫克斯代码和颜色代码中显示状态注入。我们还将争辩说，所有这些状态注射方案都耐受单个错误，从而维持在主文本中提出的实验中实现的误差抑制。

　　我们对一般错误模型感兴趣，其中在稳定器读取电路中的电路元素上发生了单个错误，因为我们将初始代码变形到最终代码。但是，我们认为对于每个单独的例子，我们需要仅研究在代码变形发生之前就发生的单量错误。

　　除了在数据量位上发生的错误外，我们还对我们用于执行奇偶校验测量的辅助测量值的错误感兴趣。从本质上讲，这些可能导致两种类型的错误：（1）读数错误，其中我们获得了不正确的测量结果；（2）挂钩错误，其中稳定器读数电路期间的错误被复制到其他几个量子位，从而创建了相关的错误。让我们提及在以下讨论中如何处理这些类型的错误。

　　首先，我们忽略了讨论钩错误，因为我们认为可以通过标志量子台或适当选择稳定器读数电路来采取措施来减轻其效果。这些措施针对感兴趣的守则进行了很好的开发，例如，请参见参考文献。27,55,56,57。我们使用量身定制的设备在主文本中完成了实验，该设备使用附加的标志量子位来实现重赫克斯代码，以减轻挂钩错误的效果。

　　我们可以使用通用方法（即测量的重复）检测测量误差。通过至少重复一次测量，如果相同测量的两个重复的结果不同意，我们可以确定单个测量误差。由于此方法适用于以下所有注射方案，因此我们不会按照情况讨论这种错误检测方法。相反，我们现在认为，通过测量两次的稳定器发生器，我们可以检测到任何单个错误。如果两轮的测量值不同意，我们将丢弃我们准备的状态并重复国家准备程序。否则，假设同意的两轮测量结果，我们检查结果以确定在制备过程中还是在测量稳定器发生器之前还是在测量稳定器发生之前发生任何Pauli错误。假设未检测到错误，我们将继续使用最终代码进行标准误差。

　　表面代码

　　让我们首先讨论表面代码58的示例（扩展数据图3）。该代码的稳定器在图3（左）中的脸部显示出，其中灯的面部标志着Pauli-X型稳定器的支撑，而黑脸标志着Pauli-Z型稳定器的支撑。我们还向绿色的Pauli-X逻辑操作员和蓝色的Pauli-Z逻辑操作员的支持。在上述代码变形的理论中，这是稳定器组的。

　　在扩展数据图3（右）中，我们显示。该图显示了在晶格的左下角中以红色概述的[[4,1,2]]代码。其余的量子位是在产品状态下制备的，以便以| 0>状态初始化蓝色Qubit，并且绿色量子位以|+>状态初始化。这些分离量子位可以被视为在稳定剂ZV或XV中。初始状态的逻辑运算符可以完全支持[[4,1,2]]代码。但是，如果我们将[[4,1,2]]代码的逻辑运算符乘以产品状态稳定器，则初始代码将共享最终代码的逻辑运算符。

　　重要的是，所有量子位支持至少一个稳定器操作员，可以检测到一个误差。我们注意到，在产品状态中初始化的量表只需要检测一种类型的误差，因为另一种类型的错误在初始状态上琐碎地起作用。例如，Pauli-X误差在绿色量子位上琐碎地起作用，而Pauli-Z错误则在蓝色量子位上作用，而同一量子的Pauli-Z或Pauli-X错误分别将由稳定器检测到同一量子。最后，[[4,1,2]]代码的所有量表都支持每种类型的稳定器之一，因此也可以检测两种类型的Pauli错误。然后，通过检查，我们看到我们可以检测到初始化步骤中发生的任何单量错误。

　　重赫克斯代码

　　我们还可以将[[4,1,2]]代码注入重赫克斯代码。对于主要文本中介绍的实验，这尤其重要，因为该实验是在硬件上实现的，该硬件是为了实现重赫克斯代码而量身定制的。重赫克斯代码是与表面代码密切相关的子系统代码。但是，由于代码是子系统代码，因此未直接测量稳定器。相反，我们有一组被称为量规组的检查运算符，我们测量了稳定器运算符的值。但是，我们发现上面给出的参数足以证明可以在检测单个错误时注入状态。

　　为了审查，重赫克斯代码的量规组包括相邻的量子位上的重量-2 Pauli-Z条款，共享一排。我们在扩展数据中显示了一个这样的术语图4（左）。该代码还具有Pauli-X型检查。这些与表面代码的Pauli-X型稳定器算子相同（扩展数据图3）。这些检查用于推断Pauli-X-和Pauli-Z型稳定器操作员。Pauli-X型稳定器操作员是Pauli-X术语在两个相邻行上的所有量子位上的产物（扩展数据图4，左）。Pauli-Z稳定器操作员与表面代码的稳定器相同（扩展数据图3）。我们还分别在扩展数据中显示了逻辑Pauli-X和Pauli-Z稳定器操作员的支持图4（左），分别为绿色和蓝色。再一次，就我们提出的简化代码信息理论而言，该稳定器组可以被视为。尽管我们通过测量量规检查来推断其值，但国家注入的基本理论符合我们的误差校正讨论。

　　我们在扩展数据中显示了重赫克斯代码图4（右），其中[[4,1,2]]代码（以红色突出显示）在晶格的左下角的Qubit上进行准备，并在|+> V状态下制备绿色Qubit，并在| 0> V状态中制备了蓝色Qubit。这些量子位具有关联的稳定器XV或ZV。再次类似于表面代码的情况，在[[4,1,2]]代码上完全支持的逻辑运算符可以乘以稳定器组的元素，以便它们与扩展数据中所示的元素相当于图4（左）。因此，由于这些逻辑运算符是成员，因此保留了编码的逻辑信息。

　　与表面代码的情况一样，我们认为我们可以在注射过程中忍受任何单量错误。每个绿色量子都至少支持一个Pauli-X型稳定剂，并且每个蓝色量子量子都至少支持一个Pauli-Z型稳定器。因此，我们可以在绿色量子位上检测到一个Pauli-Z错误，并且在蓝色Qubits上的单个Pauli-X错误直至代码变形发生的点。我们不关心对绿色Qubit上作用的Pauli-X错误，而Pauli-Z的错误在蓝Qubit上作用于蓝粒子，因为这些错误在最初的状态下琐碎地起作用。最后，[[4,1,2]]代码的所有量表都支持Pauli-X-和Pauli-Z型稳定剂的稳定剂，因此，它们都可以检测到两种类型的错误。这说明了使用重-HEX代码在州注射过程中在系统的所有量子位上发生的单量错误。

　　颜色代码

　　让我们最终讨论颜色代码59。这是一个特别有趣的例子，因为可以将[[4,2,2,2]]代码直接注入颜色代码中。我们在扩展数据中显示了颜色代码晶格图5。对于每个晶格面都支持Pauli-X-和Pauli-Z型稳定剂。该代码支持两个逻辑运算符，其中Pauli-X术语的产物沿着晶格的底部边界支撑，并且是沿晶格左边界所有量子的Pauli-Z术语的产物。同样，沿晶格的左边界所有量子位支撑的Pauli-X术语的产物，也是沿晶格底部边界所有量子位支撑的Pauli-Z术语的产物。我们在扩展数据中分别在蓝色和绿色的左侧和底部边界上强调了逻辑运算符的支持图5。

　　我们在扩展数据的标题中定义了稳定器组，其中[[4,2,2,2]]代码被放在晶格的四Q级面上，所有其他量子均以铃铛对制备，并用稳定器操作员Xaxb和Zazb制备，并在该图中标记为突出显示的边缘。根据参考文献中使用的边缘的着色约定，我们将边缘蓝色或绿色染色。59。尽管如此，所有两种颜色的突出显示的边缘都支持同一对铃铛。

　　我们可以将[[4，2，2]]代码的逻辑运算符乘以我们获得逻辑运算符的元素。因此，在状态注射过程中保留了在错误检测代码上编码的逻辑Qubits。

　　我们最终认为我们可以在州注射过程中检测到任何单量错误。扩展数据图5显示了带有彩色面部的稳定器操作员的支持。具体而言，每个有色脸上都有Pauli-X-和Pauli-Z型稳定器。通过检查，我们看到每个量子都会支持至少一个有色的面孔，因此支持Pauli-X-和Pauli-Z型稳定器。我们还注意到，错误检测代码还支持Pauli-X-和Pauli-Z型稳定器的各自面孔。因此，我们可以在状态注射过程中检测到任何单量错误。

　　我们已经为我们在主文本中讨论的错误抑制魔术状态的几种不同代码提供了状态注入协议。我们认为我们可以检测到这些协议中的任何一个可能发生的单个误差，以便我们维持实验中证明的误差抑制。我们提供的注射方案可以通过将其与文献中提出的其他方法相结合以提高国家注入的性能和产量来改进。例如，在参考文献中。提出了20,24，两步准备过程，其中将魔术状态注入中间大小的代码，其中错误检测用于抑制错误，然后再将中等大小的代码注入较大的代码。此方法与我们在此处介绍的注射方案兼容。我们也可能采用参考文献中提出的方法。25，作者提出在状态注入的解码步骤中估算注射状态的逻辑误差。

　　值得注意的是，可以通过增加可检测到的错误事件的比例来改善这些错误检测协议。例如，我们可能会考虑在州注射程序开始之前可以准备更好的选择。在子系统代码的情况下，我们还可能会寻找其他错误检测检查，这些检查可以在我们进行的中间规格测量之间进行，以推断稳定器的值，以及在准备过程中的初始代码的稳定器。

　　上面描述的我们的两个状态注入协议要求CZ状态在[[4,1,2]]代码的副本上编码。在这里，我们展示了如何在[[4,2,2,2]]代码上制备的编码的CZ状态，如我们在主文本中所描述的那样，将其转换为[[4,1,1,2]]代码的两个副本。这种转换是通过测量进行的。从这个意义上讲，它可以理解为类似于上一节中讨论的代码变形。我们认为我们可以在代码变形过程中检测到任何一个错误，从而维护主文本中获得的错误抑制。我们还展示了如何将该过程映射到重赫克斯晶格几何形状上。该协议在扩展数据中概述了图6，我们显示了如何将大纲映射到扩展数据中的重赫克斯几何形状上。

　　在讨论转型之前，我们首先先简要摘要对国家传送背后的想法进行了抽象的评论。我们可以将转换视为晶格手术操作的小实例38，其中通过测量适当的逻辑自由度来在逻辑量子器之间执行大门。此外，在此特定情况下，我们可以将操作视为小颜色代码和小型表面代码之间的晶格手术操作，其中分别将[[4，2，2]]代码和[[4,1,1,2]]代码解释为小颜色代码和表面代码。在两种代码之间执行逻辑奇偶校验测量后，通过参考文献中所述的小颜色代码的部分冷凝操作完成了转换。48。

　　为了解释操作，我们考虑了稳定器和代码的逻辑运算符在扩展数据中所示的测量模式的每个步骤中的演变图6，独立于代码的实现。我们有三个逻辑Qubit索引A，B和C，最初，A和B在[[4,2,2,2]]代码上进行编码，并且C在[[4,1,1,2]]代码上编码。从本质上讲，该操作将编码在量子B上编码的逻辑状态传送到量子c，直到克利福德操作。逻辑量子A不参与该操作，因此我们专注于Qubits B和C。

　　传送操作进行如下：

　　该操作的功能是在某个任意逻辑状态下制备的A和B的功能，但为了说明我们假设它们处于产品状态的操作。我们从讨论中省略了Qubit a，因为它不受转型的改变，因此我们将其作为练习，以验证一般情况。

　　最初，B子系统中的任意状态以及C子系统上的逻辑状态可以由以下矢量状态描述：，在该状态下，我们选择了B上的向量方便的基础B。在测量关节逻辑操作员XBZC并获得测量结果M2时，关节系统的结果状态为M2。最后，在测量ZB并获得测量结果M3后，结果状态为。根据测量结果M2和M3，适当的Pauli校正使我们能够恢复状态。因此，我们看到最初以系数A和B的形式在B子系统上编码的逻辑信息现在完全位于C子系统上。最后，我们注意到，通过此操作，逻辑信息的基础已通过Hadamard操作旋转。这可以在以后的步骤中进行纠正。扩展数据图6显示了如何通过执行逻辑测量值[[4,2,2]]代码的编码量子和[[4,1,1,2]]代码的逻辑量子之间进行这种转换。

　　现在，我们讨论如何在重赫克斯晶格上实施所述状态传送（扩展数据图7）。我们首先准备编码的CZ状态，如主文本中所述，以及编码的[[4,1,2]]代码。[[4，1，2]]代码在逻辑状态|+>中制备。我们可以使用在扩展数据中显示的橙色框中概述的量子台准备此状态图7（顶部），其中四个量子位，4、6、15和17是代码和Qubits 5、10和16的数据量；用于执行用量子5和16用作标志的Qubits 5和16使用的权重-4奇偶校验。[[4，1，2]]代码是通过在|+>状态中初始化数据量的量子，然后测量每个Pauli-Z型稳定器Z4Z6和Z15Z17来制备的。这些测量可以分别用辅助量子置量5和16促进。这些运算符中的每一个测量两倍，以便我们可以在准备过程中检测到单个测量误差（另请参见参考文献4）。

　　我们使用逻辑测量将[[4,2,2]]代码的单个逻辑量子置量转移到[[4,1,1,2]]代码上。在步骤3中，我们执行了一个权重4测量，该测量测量了两个代码上两个逻辑Qubit的奇偶校验。为了使用重甲状腺晶格几何形状来执行此操作，我们首先运输代码。这可以在两轮交换门或传送操作中进行，如扩展数据中的箭头所示，图7（顶部），其中首先并行执行蓝色箭头，然后并行执行绿色箭头。应当指出的是，这些平行掉期门的回合具有容忍性，因为所有单独的交换操作都涉及单个数据Qubit和辅助量子标题。因此，在将要检测到的代码上，任何潜在的双Quition门误差实际上都是单量错误。掉期操作后，我们促进了与Qubits 5、10和16的逻辑奇偶校验测量，在扩展数据中显示的绿色框中显示。逻辑测量是两次进行的，以识别此步骤中可能发生的测量误差。这两种测量结果的结果都应一致。测量结果中的奇怪奇偶校验表明已经发生了测量误差。

　　最后，我们测量逻辑运算符以完成传送操作。我们在其两个Quibent的支持下测量该操作员。具体而言，这些是[[4,2,2,2]]代码的权重-4 pauli-Z稳定器，其中SZ = Z2Z4Z13Z15。测量这两种重量2逻辑运算符使我们能够检测到一个误差，因为其结果的产物应与Pauli-Z稳定器SZ的价值一致。最终的测量完成了传送操作，此外，将错误检测代码投射到[[4,1,1,2]]代码的第二份副本上。最后，我们指出，投射到已知的特征态使我们能够将此逻辑操作员视为权重-2稳定器。因此，我们现在可以考虑我们最初作为[[4,1,2]]代码准备的[[4,2,2]]代码。因此，我们在两个[[4,1,2]]代码的逻辑空间上编码的状态在扩展数据中显示的紫色和橙色框中显示的代码图7（底部）。

　　考虑魔术状态准备和逻辑断层扫描的所有电路都使用冗余来检测错误。对于用图1所示的电路执行的中路综合征测量值，这种冗余的部分是通过使用标志Qubits进行的。除非发生误差，否则这些结果的结果为0。因此，这些结果是错误敏感事件，允许检测到错误。

　　其他误差敏感事件来自综合征测量本身的结果。对于图2B所示的电路，这些事件如下：

　　对于具体性，我们将考虑逻辑ZZ的测量，为此，通过最终测量数据量值实现了最终的SZ测量。然后，除了上述三个条件的综合征测量条件外，该电路还具有八个标志结果。这总共提供了11个错误敏感事件。为了分析如何检测到电路中的误差，我们考虑了每个门周围插入Pauli错误的所有可能方式。具体而言，我们在任何两个Qubit Gate之前，在任何两个Qubit Gate之前，在支持门的Qubits之前，都考虑了X，Y和Z的插入。然后，我们模拟每个电路中的每个电路，以确定如何检测到误差。

　　该分析有两个重要用途。首先，可以通过确认所有具有非平凡效应的保利错误在某种程度上被错误敏感事件检测到的所有保利错误，以验证方案的容错。其次，它可用于确定检测每个误差的误差敏感事件的特定组合。然后，可以使用此信息来推断发生这种错误的相应概率εs，通过查看在测量结果中发生相应误差签名的频率。

　　进行此分析后，发现电路容易耐受。未检测到错误的唯一情况是系统处于错误操作员本征状的情况下，或者立即在Pauli错误的特征值中进行测量。在这两种情况下，误差将对电路输出产生微不足道的影响。

　　计算εs时，重要的是要注意，误差签名S不一定对于每种类型的误差都是唯一的。例如，X和Y Paulis在任何测量之前立即插入，将产生测量误差的相同效果。因此，对于每个误差签名，我们还确定了退化性NS。这是导致相同错误签名的唯一错误数量。借助此信息，我们可以从实验数据中分析综合征结果，寻找这些签名并确定其发生的概率32。

　　由于本实验中使用的错误敏感事件数量有限，因此可以直接计算这些概率。对于导致特定签名的所有误差形式的组合概率εs都是使用该签名发生的镜头数确定的，ns和未检测到误差的镜头的数量，N0。这些镜头数的比率将是误差发生的概率与没有的概率的概率之比：

　　只需重新安排这种关系，就可以为我们提供εs的值（参考文献62）。然后，我们使用退化元来获得每个可能的单量Pauli误差的平均概率：εs/ns。

　　在这里，我们描述了魔术状态制备电路，没有任何错误抑制与主文本中描述的错误抑制方案进行了比较。

　　在扩展数据图8A中，我们显示了一个电路，该电路首先在两个物理量子位上准备一个CZ状态，然后编码状态，以使CZ状态的两个量子的Pauli可观察到可以表示为逻辑运算符，以表示我们ENCODE的错误检测代码的逻辑运算符。最后，假设我们获得了正确的稳定器测量结果，我们测量了代码的稳定器运算符以编码状态。用于制备步骤的电路显示在扩展数据中图8b。

　　我们可以利用CZ状态的稳定器操作员来简化图8B中扩展数据中显示的准备电路。我们将稳定器操作员U定义为状态，作为操作员，该操作者在其各自的状态上是微不足道的。我们可以检查CZ状态是否在受控门的作用下是不变的

　　这个统一门等于标准受控门，然后在目标量子轴上进行一点翻转，即

　　该观察结果使我们能够简化制备电路。一旦制定了CZ状态，我们将在图8的扩展数据中添加栅极，因为在此纳入下，我们在此阶段准备的状态是不变的。随着两个Pauli-X旋转的重复应用以及在电路中使用的两个受控操作的重复应用，它的重复应用像身份操作一样，使我们能够简化电路。电路中的这个微不足道的步骤标记在垂直虚线之间的图上。因此，我们可以省略所有受控操作以及我们实施这种状态准备方法中所示的电路的位翼型操作。因此，此准备步骤仅包括两个纠缠大门：一个受控的Hadamard门和一个交换门。我们通过将图2B，C中所示的电路附加到扩展数据中所示的电路末端来执行逻辑断层扫描。同样，我们可以对扩展数据中显示的电路的输出进行物理断层扫描图8a。

　　此外，我们注意到CZ状态也通过交换门稳定：

　　和CZ如主文本中所定义。CZ状态由该集合产生的Abelian稳定剂组唯一稳定。

　　最后，我们还将抑制错误的魔术状态准备方案与在两个物理Qubit上制备相同魔术状态的电路进行了比较（扩展数据图8C）。我们使用单个纠缠栅极以及单量旋转在两个物理Qubit上准备状态，然后在不同的单量电Pauli碱基P和Q中测量状态，以对电路输出进行状态层析成像。

　　IBM_PEEKSKILL V.2.4.0上的编码状态数据收集在一个区域上跨越了几天。在此期间，监测实验与层析成像数据收集试验交织在一起。所有量子位的设备相干时间超过约100μs，发现每个门两个Qubit的误差范围为0.35％至0.59％。在扩展数据中提供了读数错误的详细监视。在扩展数据表1和2中总结了平均设备表征数据。在所有物理对上的IBM_Peekskill v.2.5.4上，在单个24小时内收集了未编码的魔术数据，并且在扩展数据表2中报告了表现最佳的边缘，尽管未经编码的静态数据未经编码，但在扩展数据表中均未发现，但要验证了原来的静态图。每个门每门0.38％的两个Qubit误差与编码魔术状态实验中使用的边缘的每个门的最低两倍误差相当。

　　在过去的十年中，进行了几项实验，以利用量子程序执行中的快速反馈或实时控制。快速反馈已用于有条件的重置63,64,65,66，状态和门传送67,68,69，其分支复杂性低，并且在诸如迭代阶段估计方案70之类的苛刻算法中，仅举几例。最近，在各种系统中，使用实时控制量进行了量子误差校正的证明为2,6,71,72。也有一些工作的实例，用于经典的微体系结构，使Qubits无缝整合和经典操作与数十吨位的经典操作。

　　我们的工作是使用IBM量子的第一代实时控制系统进行的，其中我们使用中路测量结果的集中处理来经典地条件量子电路。控制系统体系结构基于现场可编程阵列控制器的层次异质系统，其计算元素用于并发实时处理，微波控制和Qubit读数。这些是通过全局时钟同步的，并与实时通信网络链接，以启用同步的集体操作，例如控制流。分支会造成恒定的延迟惩罚，以执行分支（500 ns的订单）。实时计算将根据决策的复杂性而产生可变的延迟开销。该系统为快速和确定性的有条件复位操作提供了专门的快速控制控制功能。对系统的集体控制需要通过专有的异质硬件编译器和代码生成器进行编排。我们使用一个开放式平台，该平台可通过Qiskit和OpenQASM 3进行编程 - 开源C命令式C风格的实时量子编程语言73。所有实验均通过Qiskit和IBM量子服务进行74,75。

　　让我们尝试使用我们通过实验评估的产量对设备组件的错误率进行建模。收益率是一个有用的功绩数字，因为它告诉我们，单纠错事件发生多久以错误率领先顺序。我们首先尝试使用我们在下面得出的简单的三参数模型来对产量进行建模。我们还将产量与电路的数值模拟进行了比较。与我们的分析模型和数值结果相比，我们显示了扩展数据表3中不同实验的估计收率。

　　如果我们假设两个QUITAIN-ERROR速率和2％阶的测量误差率，那么我们的两项分析都与实验良好一致。与在扩展数据表1和2中测量的错误率相比，这是一个高错误率。但是，我们指出的是，我们的分析模型和模拟都没有说明诸如泄漏，串联，串联，两级系统和慢速循环过程中可能发生的误差之类的常见错误过程，这些错误可能会在慢速循环过程中引入其他噪声。我们建议在我们的建模中存在差异，并且可以将实验观察到的收率归因于这些细节，这些细节难以通过分析或数值建模。

　　让我们提出分析模型以评估产量。我们可以将魔术状态的产量估计为QR，其中Q是我们在整个实验中获得的随机测量结果的概率，即完成魔术状态准备方案所需的值，而R是实验不会遇到单个错误的可能性。

　　如果我们有εp是单个奇偶校验测量引入错误的可能性，而d是实验中进行的奇偶校验测量的数量，即，深度，我们可以写作，从而给出方程式

　　我们注意到，Q和D在不同的实验中有所不同。

　　对于我们的粗略计算，如果我们获得εp≈22％，我们发现与实验数据相当良好。这大约等同于两个小问题的栅极率和大约2％的测量误差率。我们执行的每个奇偶校验测量都使用八个纠缠大门和三个中路测量值。因此，忽略高阶术语，我们获得了奇偶校验测量引入单个错误的可能性

　　其中ε2Q是两数Quit的栅极率，εm是测量误差的概率。如果我们设置ε2q=εm= 2％，我们发现εp= 22％。

　　我们还需要预测不同实验的Q。让我们从使用FeedForward的错误抑制实验开始。在这里，在无嘈杂的情况下，我们有一个随机测量结果，最初是我们测量的。可以很容易地检查一下，我们将| ++状态投射到CZ运算符的+1特征特征空间的概率是qff = ++（1+cz）++/2 = 3/4。在我们不使用进料的情况下，除了获得测量的正确结果外，我们还必须在选择后选择获得SZ初始测量的正确结果。我们获得该操作员的+1特征值子空间，概率为1/2。因此，我们的QPS = 3/4×1/2 = 3/8。最后，在标准准备程序中，我们同时测量了SZ和SX，并且我们都需要给出+1结果。每个测量值都以1/2的概率给出了正确的结果。因此，我们的QSTND = 1/2×1/2 = 1/4。

　　让我们评论与实验一致的该模型的特征。首先，我们观察到，使用FeedForward抑制错误的方案的产量始终比其他两个方案更好，即使用后选择后和标准准备方案抑制了错误的方案。此外，我们观察到，对于图2所示的两个断层扫描电路，误抑制后的选择后方案和标准方案的产率。

　　此外，我们的模型解释了使用图2中所示的两个不同电路进行的不同断层扫描实验之间的产量差异。图2C中的层析成像电路使用了两个额外的奇偶校验测量值，比图2B所示。因此，图2C中的断层扫描电路本质上比图2B中的层析片更嘈杂。这反映在图4中，其中图2B，C所示的断层扫描电路的产量如图4所示（左，右）。

　　我们的基本分析模型正确地预测了我们实验数据的几个定性特征。但是，它忽略了电路的许多细节。正如我们可能期望的那样，如果我们模拟电路，我们会发现与实验观察到的收率更好的一致性。我们假设每个两个Qubit的纠缠门中的每个错误率，测量错误率为2％。这些结果也显示在扩展数据表3中。同样，这些电路元件的物理错误率大大高于观察到的这些组件的错误率。如本节开头所述，我们将其归因于我们的分析模型或数值模拟未捕获的噪声过程。实际上，很难捕获实验中发生的所有物理细节。

　　主要文本中的状态断层扫描使用了国家层析成像的Qiskit实验31。与以前的作品相比，一个显着的更改是，我们不使用主文本中的读数错误缓解。取而代之的是，我们假设理想的测量值执行层析成像拟合，这将任何无法检测到的测量误差都归因于重建的量子状态中的错误。对于物理断层扫描，我们使用默认的Pauli测量基础在每个物理量子位上使用CVXPY_GAUSSIAN_LSTSQ FITTER与测量数据，以获得加权的最大可能性估计，该估算受约束，这些估算限制为正面，限制在正，半偏见，单位痕量密度矩阵的空间。对于逻辑断层扫描，我们使用Pauli Experionation值而不是Pauli Eigenstate概率，将CVXPY_LINEA_LSTSQ FITTER使用自定义测量基础。在这种情况下，自定义钳工权重是根据每个后选择的逻辑Pauli操作员测量的Pauli期望值估计值的标准误差倒数计算的。

　　在层析成像方法中，对测量误差的敏感性是一个常见问题。通常，层析成像工具仅与测量设备的噪声模型一样好，即我们计算出代表某些测试密度矩阵的有条件概率的可能性的可能性。在本节中，我们将讨论一种替代方法，将读数错误表征与层析成像重建结合在一起。尽管断层扫描实验中的主要测量误差来源是由于量子读数，但在z基础上假设局部，不相关的读数错误是一种常见的做法。一组噪声正算子值测量（POVM）是单量的，IS

　　其中p是将结果1分配给最初以| 0和q的状态分配结果的概率，这是将结果0分配给最初准备为| 1的变形的概率；也就是说，p = p（10）和q = p（01）。我们还可以通过在公式（12）中通过适当的角度旋转公式（12）中的嘈杂的poVM，构建嘈杂的POVM，以在Pauli-X或Pauli-Y特征基础上进行测量，因为假设理想的误差通常比单价栅极误差大的范围大。

　　通过将少量实验数据收集与读取校准实验相结合，可以为适用于少量数据收集持续时间收集的每个数据量子构建嘈杂的POVM，用于上面讨论的拟合程序。在扩展数据图9a中，可以将与理想投影仪的拟合（p，q = 0）进行比较，因此可以将与噪音povms拟合的状态不满，其中在主要文本中报告了后者。使用读数缓解措施，易于故障的层析成像仪的表现远远超过未编码的层析成像和编码状态的物理断层扫描。由于逻辑断层扫描中的终止测量与物理断层扫描非常相似，因此我们希望这两个实验都表现出相似的不忠。解决这一差异仍然是一个公开的研究问题。

　　此外，目前尚不清楚我们假定的嘈杂POVM的构造或测量的读数误差校准，共同反映了数据量量位所经历的真实测量误差。因此，我们在扩展数据中测试了国家断层扫描结果对测量补偿的选择的敏感性图9b – d。国家的不忠性是通过将实验断层扫描数据拟合到由P和Q参数参数的POVM来计算的。为了简化，这些读数错误概率设置为所有量子位和时间的恒定概率。低不忠性的深蓝色区域（带有红色星星标记的最小值）与使用实验测量的读出校准的全球平均值（由黑点标记）计算出的状态不忠。这种差异表明，目标实验经历了初始化或测量误差的速度要比简单的校准和/或使用潜在不正确的A型拟合测量的速率更高的速率产生了高度非阳性状态，该状态被映射到受约束优化的高效率物理状态。

　　因此，将减轻读数与层析成像结合起来仍然是进一步工作的一个空缺问题，并且主要文本的结果受到终端测量未解决的读数错误的限制。我们期望在扩展数据中进行状态断层扫描实验图9b – e p = q = 0在基础魔术状态的误差上提供了合理的上限。